28. Matemáticas en larga duración

El enfoque de larga duración, acuñado por la Escuela de los Annales y popularizado por Fernand Braudel, invita a examinar procesos históricos que trascienden las coyunturas inmediatas y los acontecimientos individuales, poniendo el acento en las estructuras profundas y en las continuidades centenarias. Cuando aplicamos esta perspectiva a la historia de las Matemáticas, descubrimos un tejido persistente de desarrollos conceptuales, prácticas sociales y transmisiones culturales que se extienden a lo largo de milenios. Este análisis será recorrido por ejemplos, datos, fechas y sucesos clave que ilustran las transformaciones de esa “mentalidad matemática” en distintos espacios y épocas, pero siempre dentro de una mirada global y de largo plazo.

1. Primeras raíces: cálculo y numeración (alrededor de 3000 a.C. – 500 d.C.)

El origen de la matemática escrita aparece en las civilizaciones de Mesopotamia y Egipto. Entre los hitos más relevantes:

• 3000–2000 a.C. (Sumeria): uso del sistema sexagesimal para la contabilidad y la astronomía, como documentan las tablillas de barro descubiertas en Ur y en Nippur.
• 1650 a.C. (Egipto): papiro de Rhind, con problemas de aritmética, fracciones y geometría práctica para agrimensura.
• 600–200 a.C. (Grecia Arcaica y Clásica): aparición de la mathematike entendida como un corpus deductivo destacan figuras como Tales de Mileto (ca. 624–548 a.C.) y Pitágoras (ca. 570–495 a.C.).

Además, en la antigua China, hacia el siglo II a.C., el texto Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático sistematiza procedimientos para resolver problemas prácticos de distribución, proporciones y ecuaciones lineales, reflejando una independencia y simultaneidad de desarrollos matemáticos en Eurasia.

2. Transmisión y sincretismo islámico (siglos VIII–XIII)

Tras la caída del Imperio Romano de Occidente (476 d.C.), gran parte de los textos griegos pasan al mundo islámico, donde se preservan, traducen y amplían:

• Siglo VIII: traducción al árabe de Euclides (Elementos) y de las obras aritméticas de Diofanto.
• Siglo IX: aparición de Al-Juarismi (ca. 780–850), cuyo libro Hisab al-jabr wa’l-muqabala (c. 820) introduce el término “álgebra” y desarrolla la resolución sistemática de ecuaciones.
• Siglo X: Al-Battani (c. 858–929) mejora las tablas de senos y cosenos, influyendo en la astronomía medieval.

Estos avances matemáticos del mundo islámico, junto con una intensa circulación de manuscritos, conforman la “primera globalización” científica, donde las estructuras de conocimiento perduran varios siglos y sirven de base a la matemática europea posterior.

3. Renacimiento europeo y estructuración académica (siglos XIV–XVII)

En la Europa de los siglos XIV y XV surgen las universidades, se imprime la Biblia de Gutenberg (1455) y se difunden los textos clásicos con mayor rapidez. En este contexto:

• 1489: Johannes Müller von Königsberg (Regiomontanus) publica una síntesis de trigonometría que unifica métodos greco-árabes.
• 1545: Gerolamo Cardano incorpora las soluciones de ecuaciones cúbicas en su Ars Magna, consolidando la práctica algebraica.
• 1550–1650: expansión de la imprenta científica, aparecen primeras ediciones anotadas de Euclides y traducciones a lenguas vernáculas.

La matemática se profesionaliza se crean cátedras universitarias y academias científicas, como la Accademia dei Lincei (1603) en Italia. Estos organismos institucionalizan redes de correspondencia y estándares de publicación que perviven hasta hoy.

4. Revolución científica y universalización (siglos XVII–XVIII)

A lo largo de los siglos XVII y XVIII, las matemáticas alcanzan una madurez sin precedentes, interrelacionándose con la física, la astronomía y la ingeniería:

• 1637: René Descartes publica La Géométrie, introduciendo la geometría analítica (coordenadas cartesianas).
• 1687: Isaac Newton publica los Principia Mathematica, donde la geometría euclidiana y la nueva física mecánica se conjugan con el cálculo infinitesimal.
• 1696–1697: Gottfried Wilhelm Leibniz presenta de modo independiente una notación para el cálculo diferencial e integral.
• Siglo XVIII: la Academia de Ciencias de París (fundada en 1666) coordina concursos de problemas y publica las Mémoires, difundiéndose ampliamente en Europa.

La transformación esencial en este periodo es la noción de cálculo infinitesimal y modelización matemática de fenómenos naturales, marcando una estructura de conocimiento que se prolongará en la tradición de las matemáticas aplicadas e industriales.

5. Siglo XIX: consolidación, abstracción y rigor

En el siglo XIX emergen movimientos de abstracción y formalización que restructuran el panorama matemático:

• 1821: Augustin-Louis Cauchy establece fundamentos rigurosos del análisis, definiciones de límite y convergencia.
• 1843: William Rowan Hamilton descubre el álgebra de cuaterniones, ampliando la idea de número a sistemas no conmutativos.
• 1854: Bernhard Riemann presenta su célebre discurso sobre geometrías no euclídeas y la geometría de variedades.
• 1882: Ferdinand von Lindemann demuestra la trascendencia de π, cerrando el problema de la cuadratura del círculo.

Estos avances cristalizan en la emergencia de la teoría de conjuntos (Georg Cantor, 1874–1895) y del programa de formalización aritmética (Peano, 1889), prefigurando la matemática moderna en el siglo XX.

6. Siglo XX: diversificación y especialización

El siglo XX es testigo de una explosión de especializaciones, la aparición de nuevas áreas y la consolidación de una comunidad global:

• 1900: David Hilbert enuncia sus 23 problemas abiertos, orientando la investigación matemática del siglo.
• 1931: Kurt Gödel publica sus teoremas de incompletitud, reformulando los límites de la demostración formal.
• 1940–1960: Norbert Wiener y la cibernética abren camino a la teoría de control y a la informática teórica.
• 1970–1990: el desarrollo de la topología algebraica, la teoría de categorías y la geometría algebraica (Grothendieck) impulsa redes de colaboración internacionales.

El teléfono, el correo electrónico y luego la Internet facilitan la comunicación de preprints y datos en tiempo real. Surgen grandes congresos como el Congreso Internacional de Matemáticos (desde 1897) que impulsan estándares de publicación y colaboración global.

7. Estructuras persistentes y retos contemporáneos

La mirada de larga duración permite distinguir estructuras que perduran:

1. Transmisión cultural: del papiro a la imprenta y luego al repositorio digital, las matemáticas se asientan sobre una infraestructura comunicativa en constante evolución.
2. Formalización y axiomática: desde Euclides hasta Hilbert y luego los sistemas de prueba asistida por ordenador, el ideal de rigor sigue siendo una constante.
3. Interdisciplinaridad: la relación entre matemáticas, física, economía y biología ha sido continua, produciendo rupturas metodológicas (cálculo, ecuaciones diferenciales, modelización estadística).
4. Institucionalización: las universidades, academias y sociedades matemáticas regulan y promueven la formación, la certificación y la investigación, consolidando una profesión global.

En el siglo XXI, los retos incluyen la colaboración masiva a través de proyectos como Polymath, la democratización del acceso con plataformas de preprints (arXiv) y la combinación con inteligencia artificial para la demostración automatizada de teoremas. Sin embargo, las estructuras de fondo –el rigor, la abstracción y la difusión global– permanecen fieles a esa larga duración de la historia matemática.

8. Cronología resumida

Este recorrido de larga duración demuestra que la historia de las matemáticas no es una mera sucesión de descubrimientos aislados, sino la evolución de una tradición intelectual que construye sus estructuras conceptuales y sociales a lo largo de milenios, adaptándose a nuevos instrumentos, instituciones y retos.

Bibliografía recomendada: Matemáticas en larga duración

Selección de obras clave para el estudio de la evolución matemática desde una perspectiva de larga duración, integrando desarrollos en diversas culturas y periodos.

• A History of Mathematics: An Introduction, Victor J. Katz
  Un recorrido riguroso desde las primeras civilizaciones hasta la era moderna, con atención a intercambios culturales y desarrollo conceptual.
  Más info
• The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer, Georges Ifrah
  Estudio panorámico de los sistemas de numeración y sus aplicaciones, con ilustraciones históricas y etnográficas.
  Más info
• Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics, Helaine Selin (ed.)
  Antología de contribuciones matemáticas de civilizaciones de Asia, África y América precolombina, en diálogo con el marco europeo.
  Más info
• Mathematics and Its History, John Stillwell
  Enfoque cronológico y temático que combina rigor matemático con contexto histórico, ideal para comprender el desarrollo de conceptos clave.
  Más info
• The History of Mathematical Tables: From Sumer to Spreadsheets, Martin Campbell-Kelly y Mary Croarken
  Análisis de los instrumentos de cálculo y su persistencia a lo largo de milenios, desde arcilla cuneiforme hasta software moderno.
  Más info
• From the Greeks to Descartes: A Source Book in the History of Mathematics, Ivor Grattan-Guinness (ed.)
  Selección de textos fundamentales en traducción, con introducciones críticas que sitúan cada pieza en su marco cultural y científico.
  Más info
• La historia universal de la ciencia, Varios autores, Tomo de Matemáticas
  Volumen especializado dentro de la colección, ofrece un panorama de la matemática desde sus orígenes hasta el siglo XX, con enfoque de larga duración.
  Más info
• Mathematics and the Historians Craft: The Kenneth O. May Lectures, Glen Van Brummelen y Michael Kinyon (eds.)
  Conferencias dedicadas a la metodología de la historia de las matemáticas, destacando el papel de fuentes primarias y la interpretación a largo plazo.
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