6.2 El Nueve Capítulos y tradición matemática china

La tradición matemática china constituye uno de los pilares fundamentales en la historia universal de la ciencia. Desde la invención de los ábacos y las varillas de conteo hasta la formulación de sofisticados métodos de resolución de ecuaciones, la civilización china produjo una obra capital: El Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático (九章算术, Jiǔzhāng Suànshù). Este tratado, compilado aproximadamente en el siglo I a.C. – siglo I d.C., resume y sistematiza siglos de conocimiento práctico y teórico. A lo largo de más de diez siglos (hasta la dinastía Tang, 618–907 d.C.), fue el texto de referencia en escuelas y administraciones imperiales, moldeando la forma de abordar problemas de aritmética, álgebra, geometría, astronomía y balística.

1. Orígenes y contexto histórico

En la antigua China, el cálculo numérico se desarrolló asociado a la administración de recursos agrícolas, la construcción de infraestructuras y el calendario astronómico. Data en torno al año 200 a.C. la aparición de tablillas y documentos fragmentarios con métodos para calcular áreas de campos, proporciones de grano e intercambios comerciales.

Hacia el siglo I d.C., durante la dinastía Han (206 a.C.–220 d.C.), estos saberes se consolidaron en el Nueve Capítulos. El texto original probablemente se compiló entre el 100 a.C. y el 100 d.C. y comenzó a circular en academias imperiales y escuelas de gobierno. A partir del año 263 d.C., el matemático Liu Hui (刘徽) escribió un comentario crítico que amplió y aclaró los procedimientos, convirtiéndose en la versión estándar hasta la redescubierta obra de Sun Zi (~429–500 d.C.) y posteriores réplicas en la dinastía Tang.

2. Estructura del Nueve Capítulos

El tratado se organiza en nueve secciones o “capítulos”, cada uno abordando un bloque temático:

1. Capítulo 1: Fangos y campos (方田)
   Cálculo de áreas de polígonos, elipses aproximadas y divisiones proporcionales de terrenos.
2. Capítulo 2: Mil familias de medidas (冶度)
   Conversión de unidades de longitud, peso y capacidad, según el sistema decimal sexagesimal usado por el imperio Han.
3. Capítulo 3: Restauración de cortes (衍术)
   Métodos de interpolación numérica y aproximaciones, equivalente al cálculo de diferencias finitas.
4. Capítulo 4: Proporciones fijas (少广)
   Problemas de regla de tres, mezcla de aleaciones y operaciones con fracciones.
5. Capítulo 5: Faltantes y excesos (商功)
   El famoso método rectángulo—equivalente a la eliminación de Gauss para resolver sistemas lineales.
6. Capítulo 6: Mérito y obras (均输)
   Gestión de tributos y transporte, aplicación de aritmética de progresiones.
7. Capítulo 7: Productos agrícolas (盈不足)
   Problemas de crecimientos, series geométricas y cálculo de intereses.
8. Capítulo 8: Volúmenes de cuerpos sólidos (方程)
   Cálculo de volúmenes de prismas, pirámides y esferas con aproximaciones de π.
9. Capítulo 9: Regla de tres conjunta (勾股)
   Teorema de Pitágoras y sus aplicaciones en topografía y construcción.

3. Ejemplos representativos

3.1 Sistema de ecuaciones lineales (Capítulo 5)

El problema clásico: “Tres talladores producen sillas a distinta velocidad. Si al combinar uno con el segundo hacen 6 sillas, el segundo con el tercero 7, y el primero con el tercero 8 en un día, ¿cuál es la producción individual de cada uno?”

Liu Hui presenta la matriz y la reduce siguiendo pasos equivalentes al método de eliminación:

Resolviendo secuencialmente: restando la 1 y la 2, ajustando valores, el resultado es x=3.5, y=2.5, z=4.5 (sillas por día).

3.2 Cálculo de fracciones y proporciones (Capítulo 4)

“Si tres tipos de grano se mezclan en proporción 2:3:5 y el volumen total es 100 tún, ¿cuánto corresponde a cada tipo?”

• Fracción total: 2 3 5 = 10 partes.
• Tipo A: 2/10 ×100 = 20 tún.
• Tipo B: 3/10 ×100 = 30 tún.
• Tipo C: 5/10 ×100 = 50 tún.

3.3 Volúmenes de cuerpos sólidos (Capítulo 8)

Para la esfera, Liu Hui ofrece una aproximación al volumen con π≈3 más tarde refinaría π hasta 3,1416. Problemas de cilindros y conos se resuelven con relaciones de radios y alturas. Por ejemplo, “volumen de un prisma de base triangular de lados 3, 4 y 5 cun” se calcula dividiendo en dos triángulos rectángulos y sumando áreas.

4. Innovaciones y aportes clave

• Uso de varillas de conteo (算筹) para representar dígitos en notación decimal sexagesimal, permitiendo operaciones de suma, resta, multiplicación y extracción de raíces.
• Introducción de números negativos (registrados con varillas en posición invertida), concepto novedoso en el siglo I d.C.
• Interpolación lineal y cuadrática (Capítulo 3), precursor de métodos numéricos medievales.
• Equivalente al álgebra lineal: sistemas de ecuaciones y eliminación de variables (Capítulo 5).
• Teorema de Pitágoras usado en topografía y arquitectura (Capítulo 9), aplicado para medir la altura de muros y distancias inaccesibles.
• Desarrollo del concepto de proporción compuesta: resolver problemas de mezcla en contextos económicos y de política de impuestos (Capítulos 4 y 6).

5. Comentario de Liu Hui (263 d.C.)

El matemático Liang Hui (también Liu Hui, 225–295 d.C.) redactó en 263 d.C. un extenso comentario que:

1. Aclara las enunciaciones originales, incluye diagramas y pasos intermedios.
2. Corrige errores de copistas e inconsistencia en problemas de volumen de esferas.
3. Mejora la aproximación de π hasta 3,1416 usando polígonos regulares inscritos en círculo.
4. Ofrece problemas adicionales y generalizaciones.

Su aporte fortaleció la transmisión del tratado hasta la dinastía Tang, cuando fue reimpreso en bloques de madera (año 640 d.C.) en el gran proyecto de recopilación bibliográfica imperial.

6. Influencia y recepción posterior

El Nueve Capítulos tuvo un impacto profundo:

• Fue manual oficial en los exámenes de servicio (科举) hasta el siglo XIII.
• Divulgación en Corea y Japón durante el período Nara (710–794 d.C.) y Heian (794–1185 d.C.), integrándose en sus currículos y estimulando matemáticos como Kiyū (japoneses del siglo X).
• Redescubrimiento parcial por eruditos europeos a partir del siglo XVII, gracias a la traducción al latín de Matteo Ricci y Johann Adam Schall von Bell en 1607 (‘Chaqiusuanfa’), aunque sólo se conocieron fragmentos.
• Influyó indirectamente en el desarrollo de la aritmética moderna y la teoría de ecuaciones, anticipándose a métodos que se formalizaron en Europa siglos después.

7. Fechas y sucesos clave

8. Legado y conclusión

El Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático simboliza la madurez científica de la China antigua. Su estructura ordenada y métodos eficaces revelan una concepción de la matemática aplicada antes incluso de la formalización occidental del álgebra. La tradición china, dominada por la practicidad y el cálculo manual, supo unificar problemas de aritmética, geometría y álgebra en un corpus coherente. Gracias a sus comentarios y transmisiones sucesivas, el tratado no solo sirvió para administrar el imperio Han, sino que se proyectó a través de las dinastías… hasta despertar la curiosidad de Occidente en la era de los descubrimientos.

Libros recomendados sobre El Nueve Capítulos y tradición matemática china

• The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary

  Shen Kangshen, John N. Crossley Anthony W.-C. Lun (1999). Oxford University Press. Traducción al inglés con comentarios detallados sobre cada pasaje.

  ISBN: 9780195107410 https://global.oup.com/academic/product/the-nine-chapters-on-the-mathematical-art-9780195107410

• Science and Civilisation in China. Vol. 3: Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth

  Joseph Needham (1959). Cambridge University Press. Estudio exhaustivo del desarrollo matemático chino, con análisis de El Nueve Capítulos.

  ISBN: 9780521097094 https://www.cambridge.org/core/series/science-and-civilisation-in-china/99EE3C3BEA97F238D1A1666A18F83CF6

• A History of Chinese Mathematics

  Lam Lay Yong Ang Tian Se (1986). World Scientific. Recorrido completo de la tradición matemática china desde la Antigüedad hasta la era premoderna.

  ISBN: 9789810203544 https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/0530

• Chinese Mathematics: A Concise History

  Li Yan Du Shiran (1987). Springer. Síntesis de la evolución matemática en China, con un capítulo dedicado a El Nueve Capítulos.

  ISBN: 9780387929946 https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-99697-9

• Histoire des Mathématiques Chinoises

  Jean-Claude Martzloff (1997). Belin. Profundo análisis historiográfico y cultural, incluyendo traducciones de problemas clásicos de El Nueve Capítulos.

  ISBN: 9782701141021 https://www.belin-editeur.com/catalogue/livre/histoire-des-mathematiques-chinoises