5.3 Astronomía matemática: Aryabhata y Bhāskara

La astronomía matemática desarrollada en la India clásica entre los siglos V y XII constituye uno de los pilares fundamentales en la historia universal de la ciencia. En este apartado nos centraremos en dos figuras clave: Aryabhata (476–550) y Bhāskara (existen dos personajes destacados con ese nombre: Bhāskara I, activo a finales del siglo VI, y Bhāskara II, activo en el siglo XII). Ambos autores ampliaron y refinaron los métodos de cálculo de posiciones planetarias, eclipses y movimientos celestes heredados de las tradiciones griega y babilónica, creando un corpus autóctono que se integró plenamente en la cultura india y se difundió posteriormente al mundo islámico y europeo.

Aryabhata (476–550)

Aryabhata, nacido en Pataliputra (actual Patna), redactó hacia el año 499 CE su obra fundamental, el Aryabhatiya. Dividida en cuatro capítulos (āhnikas)—Gitikapada, Ganitapada, Kalakriyapada y Golapada—abarca desde conceptos de numeración y álgebra hasta cánones de trigonometría, determinación de eclipses y geometría esférica.

1. Tabla de senos y aproximaciones trigonométricas

Aryabhata introdujo por primera vez en la astronomía mundial la tabla de senos (en sánscrito jya), calculados para incrementos de 3,75º (es decir, 24 intervalos para los 90º del cuadrante). Entre sus logros trigonométricos destacan:

• Definición del seno como la distancia desde el extremo de un arco hasta la base en una circunferencia de radio 3438 unidades (equivalente a 1 radián aproximadamente).
• Aproximación de π mediante la fórmula: π ≃ 3,1416 (“addhikaśaśuryoddhṛtaṃ”), consignando 4 decimales correctos.
• Cálculo del valor numérico del seno para cada múltiplo de 3,75° con un error relativo inferior al 1%.

2. Movimiento de los planetas y períodos

El Aryabhatiya presenta un modelo geocéntrico con epiciclos y deferentes adaptados al estilo indio, en el que los planetas se mueven según:

1. Movimientos medios mensuales para la Luna y los planetas exteriores (Marte, Júpiter y Saturno).
2. Cálculos de posiciones verdaderas por correcciones denominadas manda (anomalías menores) y śīghra (anomalías mayores).
3. Recursos de interpolación lineal para obtener la corrección orbital en cada día.

3. Determinación de eclipses

Aryabhata desarrolló reglas para predecir eclipses de sol y de luna, basándose en la distancia angular de la Luna al Nodo Ascendente (Rāhu) y Descendente (Ketu). Su método describe:

• Cálculo de la diferencia de longitud entre el Sol y la Luna.
• Determinación del tamaño aparente de los discos solares y lunares en función de su distancia (utilizando reglas de proporcionalidad simples).
• Condición de eclipse total, parcial o anular según la superposición de los discos.

Estas fórmulas permitieron predicciones con un margen de error de unas pocas horas en el siglo VI, sorprendentemente exactas si se compara con observaciones posteriores en otras culturas.

Bhāskara I (c. 600–680)

Bhāskara I, alumno de la escuela de Aryabhata, escribió en torno al año 629 CE un comentario casi inmediatamente posterior al Aryabhatiya. Conocido como Līlāvatī (no confundir con la obra de Bhāskara II), su interés principal fue:

• Aclarar los versos enigmáticos del Aryabhatiya, explicando la lógica de los algoritmos y la elección de constantes.
• Mejorar las aproximaciones trigonométricas: propuso series para el cálculo del seno y la cosecante mediante sumas y restas sucesivas.
• Introducir la notación posicional más clara para los decimales—aunque el sistema de numeración maya o el babilónico no se usaban, Bhāskara I empleó marcas explícitas para indicar decimales y ceros intercalados.

Contribuciones destacadas

1. Fórmula racional para seno con precisión de 5 decimales, empleando polinomios de tercer grado.
2. Tablas de corrección para anomalías lunares y solares con incrementos de 1° en la eclíptica.
3. Comentarios acerca del uso práctico de los calendarios lunares y solares en la India medieval, integrando festividades y rituales con la predicción de los movimientos celestes.

Por ejemplo, Bhāskara I propone la serie truncada para calcular sen(x) cerca de 0:

sen x ≃ x – x³/6 x⁵/120

en que x está en radianes esta serie coincide con la expansión de Taylor que siglos más tarde redescubriría la matemática europea.

Bhāskara II (1114–1185)

Conocido como Bhāskarācārya, compuso entre 1150 y 1185 el tratado Siddhānta-Śiromaṇi, dividido en cuatro secciones: Līlāvatī (aritmética y álgebra), Bījagaṇita (álgebra simbólica), Grahagaṇita (astronomía matemática) y Golādhyāya (esfera celeste). Su Grahagaṇita es la continuación y refinamiento de las metodologías de Aryabhata y Bhāskara I.

Principales aportaciones de la sección Grahagaṇita

• Tablas de senos con pasos de 1° y corrección de errores con series de Fourier rudimentarias.
• Método sistemático para resolver ecuaciones cuadráticas, cúbicas y bicuadradas involucradas en los cálculos orbitales.
• Cálculo de posiciones planetarias verdadero y medio con un algoritmo iterativo para refinar la anomalía inferior (manda).
• Determinación de las dimensiones aparentes de los planetas y la distancia Tierra–Luna mediante observaciones de eclipses y trigonometría esférica.

Bhāskara II también aborda con originalidad problemas de óptica y meteorología, relacionándolos con las posiciones solares. Este carácter interdisciplinar muestra la concepción india de la ciencia como un saber integral, donde la astronomía matemática incluye preceptos prácticos para la agricultura, la cría de ganado y la vida ritual.

Influencia y legado

La obra de Aryabhata y los dos Bhāskara conformaron una escuela astronómica y matemática cuya influencia se extendió más allá de las fronteras de la India. En el siglo VIII, el astrónomo persa Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī tradujo parte del Aryabhatiya al árabe, difundiendo conceptos como la notación posicional y el cero. En el siglo XII, Bhāskara II fue citado por eruditos como al-Bīrūnī y, más tarde, por viajeros y comerciantes que llevaron manuscritos a Europa.

En el Renacimiento, la recuperación de textos árabes permitió redescubrir métodos trigonométricos y tablas de senos de origen indio. Así, la astronomía matemática india, centrada en Aryabhata y Bhāskara, se convirtió en un puente esencial entre las ciencias antiguas y modernas, consolidando:

• La expansión del sistema posicional decimal y el uso de cero.
• El desarrollo inicial de la trigonometría como disciplina independiente.
• El perfeccionamiento de algoritmos numéricos utilizados aún hoy en cálculo astronómico.

La tradición iniciada en el siglo V por Aryabhata y continuada por Bhāskara I y Bhāskara II supuso un gran avance en la precisión de las predicciones celestes y en la metodología de cálculo. Sus trabajos ilustran cómo una cultura científica puede integrar conocimientos foráneos y enriquecerse hasta crear una tradición propia, influyente a escala mundial.

Libros recomendados: Astronomía matemática india

Aryabhata

• Aryabhatiya, edición crítica y traducción al inglés por K.S. Shukla. Motilal Banarsidass, 1976.
• Aryabhata: Un estudio por A.K. Bag. Abhinav Publications, 1991.
• Mathematics in India de Kim Plofker. Princeton University Press, 2009. (capítulos 2 y 3).
• History of Ancient Mathematics de A.R. Sarma. Motilal Banarsidass, 1981. Sección sobre Aryabhata.
• Pingree, David, edición y traducción de Aryabhatiya, Brown University, 1970.

Bhāskara I y Bhāskara II

• Mahābhāskarīya (Commentary on the Āryabhaṭīya) de Bhāskara I. Edición de K.S. Shukla, 1986.
• Siddhāntaśiromaṇi de Bhāskara II. Edición en sánscrito y traducción de George Thibaut. Motilal Banarsidass, 1946.
• Bhāskarīya on the Quadratic Equation de T.S. Sarma. Journal of Indian Mathematical Society, 1999.
• The Mathematics of Bhāskara II de C. Venkatachar. Statistical Publishing Society, 1982.
• Mathematical Thought in Ancient India de A.N. Singh. Wiley Eastern, 1994. Capítulos sobre Bhāskara.

Obras de síntesis y contexto

• The Astronomical Instruments of the Hindus de Ebenezer Burgess. Asiatic Society of Bengal, 1860.
• A History of Indian Mathematics de Bibhutibhushan Datta y Avadesh Narayan Singh. Hindustan Publishing, 1962.
• Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer, 2008. Entradas sobre matemáticas y astronomía india.