7.2 Álgebra de al-Jwarizmi y aritmética indo-arábiga

Contexto histórico

Durante los siglos VIII y IX de nuestra era, el centro neurálgico del saber en el mundo islámico se encontraba en Bagdad, capital del califato abasí. Bajo el patrocinio del califa al-Mamún (813-833), se estableció la célebre Bait al-Hikma o “Casa de la Sabiduría”, donde se tradujeron al árabe tratados científicos de la Antigüedad grecolatina, india y persa. Fue en este ambiente donde Abu Jafar Muhammad ibn Mūsā al-Khuwārizmī (conocido en Occidente como al-Jwarizmi, 780-850) compuso obras fundamentales, entre ellas el Kitāb al-ǧabr wa-l-muqābala (“El libro de la restauración y la reducción”), que marcó el nacimiento sistemático del álgebra como disciplina autónoma.

Aritmética indo-arábiga

El sistema de numeración que hoy llamamos “hindu-árabe” tuvo su origen en la India hacia el siglo V, pero fue en territorio islámico donde adquirió su forma definitiva. Características clave:

• Diez símbolos básicos para representar unidades del 0 al 9.
• Notación posicional: el valor de cada dígito depende de su posición (unidades, decenas, centenas, etc.).
• Introducción del concepto de cero (ṣifr en árabe), sin el cual la notación posicional no sería posible.

Antes de esta innovación, en Occidente predominaban numerales romanos, poco aptos para cálculos rápidos. Para ilustrar la ventaja de la aritmética indo-arábiga, comparemos la multiplicación de 123 por 45:

Con numerales romanos: CXXIII × XLV
Requiere descomponer: 45 = 40 5, multiplicaciones parciales, sumas engorrosas.
Resultado: DLV → 553 (más propenso a errores en cálculo manual).

Con numeración indo-arábiga (123 × 45):

1. 5 × 123 = 615
2. 4 (decenas) × 123 = 492 (se añade un cero final → 4920)
3. Suma de parciales: 615 4920 = 5535

El procedimiento se realiza con lápiz y papel, aprovechando el valor posicional. Esta eficiencia propició la rápida adopción de los numerales árabes en toda la cuenca mediterránea.

El tratado de álgebra al-Khuwārizmī (siglo IX)

El término “álgebra” deriva de la palabra árabe al-ǧabr, que aparece en el título de la obra principal de al-Jwarizmi. En Kitāb al-ǧabr wa-l-muqābala, el autor sistematizó la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado mediante:

• Al-ǧabr (restauración): adición de cantidades iguales a ambos lados de la ecuación para eliminar términos negativos.
• Al-muqābala (reducción): cancelación de cantidades iguales en ambos miembros.

Al-Jwarizmi clasificó las ecuaciones en seis tipos fundamentales, siempre asumiendo coeficientes positivos:

1. Cuatdrados equivalentes a raíces positivas: x² = bx
2. Cuatdrados equivalentes a números: x² = c
3. Raíces y números equivalentes a cuadrados: bx = x² c
4. Cuatdrados y raíces equivalentes a números: x² bx = c
5. Cuatdrados y números equivalentes a raíces: x² c = bx
6. Raíces equivalentes a cuatrados y números: bx c = x²

Esta taxonomía permitió abordar cada caso con un método geométrico o aritmético, evitando soluciones negativas o complejas. Por ejemplo, para la ecuación x² 10x = 39, propone:

1. Al-ǧabr: añadir (10/2)² = 25 a ambos lados → x² 10x 25 = 39 25 = 64.
2. Reconocimiento de cuadrado perfecto: (x 5)² = 64 → x 5 = 8.
3. Solución: x = 3 (se descartaba x = –13 por no tratarse de cantidad negativa).

Este procedimiento es precursor del método de completar el cuadrado, fundamental en álgebra moderna.

Ejemplos y casos de uso históricos

• Administración y tributación: Para calcular tasas, rentas agrícolas y distribución de impuestos, los funcionarios abasíes emplearon tablas aritméticas basadas en numeración indo-arábiga.
• Arquitectura y astronomía: En la construcción de madrasas y observatorios (p. ej. el de Maragha, 1259), se aplicaron algoritmos de al-Jwarizmi para determinar longitudes y ángulos.
• Comercio: Los mercaderes de la Ruta de la Seda contaban con manuales de aritmética indo-arábiga para convertir monedas y calcular rutas, algo insostenible con sistemas más primitivos.

Difusión en Europa: traducciones y adopción

En el siglo XII, bajo el influjo de la Escuela de Traductores de Toledo, el matemático Gerard de Cremona y otros eruditos vertieron al latín el Kitāb al-ǧabr wa-l-muqābala y varios textos de aritmética indo-arábiga. El tratado se conoció como Algoritmi de numero Indorum (siglo XIII), introduciendo el término “algoritmo” en la lengua europea.

Más tarde, en 1202, Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, publicó el Liber Abaci, donde no sólo defendió la numeración indo-arábiga frente a los dígitos romanos, sino que expuso reglas de aritmética, álgebra elemental y problemas de interés práctico (cálculo de áreas, reparto de herencias, sucesiones). Su obra selló la aceptación definitiva de estos métodos en la Europa medieval tardía.

Legado y repercusiones

• El concepto de resolución sistemática de ecuaciones impulsó el desarrollo del álgebra en Occidente y en el mundo islámico durante cinco siglos.
• La notación posicional y el uso del cero revolucionaron todas las ramas de la ciencia y la economía, convirtiéndose en base de la aritmética moderna.
• El método de completar el cuadrado, heredado de al-Jwarizmi, es hoy una herramienta estándar en álgebra escolar y universitaria.
• El vocablo “álgebra” y “algoritmo” derivan directamente del árabe, como testimonio lingüístico del profundo intercambio cultural entre Oriente y Occidente.

Conclusión

La obra de al-Jwarizmi en Bagdad y la adopción de la aritmética indo-arábiga constituyen un hito fundamental en la historia universal de la ciencia. La sistematización del álgebra y la difusión de los numerales árabes no sólo facilitaron los cálculos cotidianos también sentaron las bases conceptuales para el álgebra simbólica y los métodos numéricos que, siglos después, impulsarían las matemáticas de la Edad Moderna y la Revolución Científica.

Bibliografía recomendada sobre Álgebra de al-Jwarizmi y aritmética indo-arábiga

• The Algebra of Mohammed ben Musa al-Khwārizmī (Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa’l-muqābala), traducción de Frederic Rosen, London (1831). Disponible en Archive.org
• Episodes in the Mathematics of Medieval Islam, J. L. Berggren, Springer (1986).
• A History of Mathematics, Carl B. Boyer Uta C. Merzbach, Wiley (1991).
• The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra, Roshdi Rashed, Kluwer Academic Publishers (1994).
• The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer, Georges Ifrah, Wiley (2000). Disponible en Archive.org
• Hindu-Arabic Numerals, David E. Smith, Dover Publications (1968).
• Mathematics in India, Kim Plofker, Princeton University Press (2009).
• The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, George Gheverghese Joseph, Princeton University Press (1991).