4.2 Geometría euclidiana, Arquímedes y matemática aplicada

1. Introducción

En la historia universal de la ciencia, la geometría euclidiana y las aportaciones de Arquímedes representan dos pilares fundamentales que configuraron no solo la matemática teórica, sino también su aplicación práctica en la ingeniería, la astronomía y la arquitectura. Desde la redacción de los Elementos de Euclides alrededor del año 300 a.C. hasta las invenciones hidráulicas y mecánicas de Arquímedes en la segunda mitad del siglo III a.C., se estableció un cuerpo de conocimiento sistemático destinado a medir, calcular y proyectar relaciones espaciales. A continuación se desarrollan las ideas centrales de la geometría euclidiana, las innovaciones de Arquímedes y su impacto en la matemática aplicada, con ejemplos, fechas y sucesos clave.

2. La geometría euclidiana

2.1 Vida y contexto de Euclides

Euclides de Alejandría, activo alrededor del 300 a.C., fundó la disciplina de la geometría axiomatizada. Aunque se sabe poco de su biografía, su obra Elementos se convirtió en el texto de referencia durante más de dos mil años. Redactada en la Biblioteca de Alejandría, constaba de trece libros que abarcaban desde definiciones básicas hasta proporciones, números irracionales y secciones cónicas.

2.2 Estructura de los Elementos

Euclides organizó sus Elementos en torno a un sistema deductivo formado por:

• Definiciones: 23 conceptos fundamentales (punto, línea, círculo, etc.).
• Postulados: cinco enunciados aceptados sin demostración (entre ellos el famoso quinto postulado o postulado de las paralelas).
• Proposiciones: teoremas demostrados rigurosamente a partir de las definiciones y postulados.

Uno de los ejemplos más célebres es la demostración del teorema de Pitágoras (Libro I, proposición 47), que garantiza que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

2.3 Importancia y legado

La geometría euclidiana no sólo explicó las propiedades de las figuras planas y sólidas, sino que sirvió de modelo para la lógica axiomatizada en otras ciencias. El postulado de las paralelas impulsó durante siglos la búsqueda de geometrias alternativas, hasta el desarrollo de la geometría no euclidiana en el siglo XIX por Gauss, Lobachevski y Bolyai.

3. Arquímedes y sus contribuciones

3.1 Biografía rápida

Arquímedes de Siracusa nació en el año 287 a.C. y murió en 212 a.C. Fue matemático, ingeniero e inventor. Su estancia en Alejandría le permitió acceder a las enseñanzas de Euclides y combinar teoría y práctica en campos como la mecánica, la hidrostática y la medición de curvas.

3.2 Principales obras y hallazgos

1. Medición del círculo (c. 250 a.C.): Arquímedes aproximó π entre 3 10/71 y 3 1/7 usando polígonos inscritos y circunscritos de hasta 96 lados. Este método geométrico marcó un hito en la precisión numérica.
2. Sobre la esfera y el cilindro: demostró que el volumen de una esfera equivale a dos tercios del volumen de su cilindro circunscrito, y lo mismo para la superficie. Fue su obra favorita, y solicitó que se grabara este resultado en su tumba.
3. Sobre la espiral: estudió la espiral que hoy lleva su nombre y la utilizó para cuadrar áreas de parabólicas.
4. Principio de la palanca: en su tratado de mecánica Sobre los cuerpos flotantes, formuló el equilibrio de palancas y escribió: «Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo».
5. Aparatos de guerra: diseñó catapultas, tornos de tornillo hidráulico (año 234 a.C.) y sistemas de poleas múltiples para la defensa de Siracusa.

3.3 Aplicaciones prácticas

La invención del tornillo sin fin, conocido en la actualidad como tornillo de Arquímedes, se utilizó para elevar aguas en riego y en minas. Durante el asedio de Siracusa (214–212 a.C.), sus máquinas de guerra y espejos ardientes (hipotéticos) ilustraron la intersección entre teoría geométrica y tecnología militar.

4. Aplicaciones matemáticas en la antigüedad y legado

4.1 Ingeniería y arquitectura

La geometría euclidiana sirvió para diseñar templos griegos y edificios romanos, donde se aplicaban proporciones armónicas. En la Antigua Roma, Vitruvio (siglo I a.C.) escribió De architectura, donde empleó trazados euclidianos para la planificación de estructuras.

4.2 Astronomía y navegación

Eratóstenes de Cirene (276–195 a.C.) midió el radio terrestre gracias a la geometría de círculos y ángulos en Siena y Alejandría, obteniendo un valor cercano a los 40 000 km. Hiparco (c. 190–120 a.C.) creó tablas trigonométricas basadas en subdivisiones circulares euclidianas.

4.3 Transmisión y traducciones

Durante la Edad Media, las obras de Euclides y Arquímedes se preservaron primero en Siríaco y luego en árabe. En el siglo IX, el traductor judío-mágrebí Saʿid al-Andalusī (Ibn al-Bannā’) y otros tradujeron los Elementos al árabe. En el siglo XII, Gerard de Cremona y Adelardo de Bath los llevaron al latín, difundiendo la geometría en Europa.

5. Difusión en el Renacimiento y la Edad Moderna

Con la invención de la imprenta por Gutenberg en 1440, los Elementos de Euclides se imprimieron por primera vez en 1482 en Venecia. A partir de entonces, cada gran matemático del Renacimiento —Regiomontano, Cardano, Tartaglia— utilizó la geometría euclidiana como base para sus estudios de óptica, perspectiva y mecánica.

En 1637, René Descartes publicó el Discurso del método y los Geometry, introduciendo la geometría analítica que unía álgebra y geometría euclidiana. Las ideas de Arquímedes inspiraron a Torricelli, Galileo y Huygens en sus estudios de equilibrio de fluidos y máquinas simples.

6. Tabla cronológica de hitos

7. Ejemplos de problemas y soluciones euclidianas

• Cálculo de la razón de semejanza de dos polígonos dados: Euclides demuestra que la razón de áreas es el cuadrado de la razón de lados (Libro VI).
• Construcción de la bisectriz de un ángulo con regla y compás (Libro I, proposición 9), base de incontables construcciones geodésicas y topográficas.
• Determinación de la tangente a un círculo desde un punto externo (Libro III, proposición 18), esencial en óptica y astronomía clásica.

8. Conclusión

La geometría euclidiana y la matemática aplicada de Arquímedes constituyen un legado que atraviesa civilizaciones y épocas. Su metodología axiomática y empírica inspiró disciplinas posteriores, desde la teoría de números hasta la mecánica clásica, y aún hoy opera como base formativa en la enseñanza de la matemática. Los datos históricos, las fechas y los sucesos aquí expuestos demuestran cómo el rigor deductivo y la aplicación práctica se alimentaron mutuamente, dando origen a avances científicos que cambiaron la forma en que la humanidad mide y comprende el espacio.

Para profundizar en estos temas, pueden consultarse las fuentes clásicas reproducidas en la Biblioteca Digital Mundial y las traducciones modernas disponibles en https://www.gutenberg.org/ebooks/21076 y https://www.perseus.tufts.edu/.

Libros recomendados sobre 4.2 Geometría euclidiana, Arquímedes y matemática aplicada de historia universal de la ciencia

Geometría euclidiana

• Euclides, Los Elementos, Ed. Gredos, 2002. Edición bilingüe con introducción y notas de Reviel Netz.
• Euclid, The Thirteen Books of the Elements, tr. Sir Thomas L. Heath, Dover Publications, 1956.
• Robin Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond, Springer, 2000.
• Paul R. Halmos, Lectures on Euclidean Geometry, Chelsea, 1991.

Arquímedes

• Archimedes, The Works of Archimedes, ed. T. L. Heath, Cambridge University Press, 1897–1912.
• Sherman K. Stein, Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka?, Mathematical Association of America, 1999.
• Reviel Netz y William Noel, El códice de Arquímedes, Taurus, 2008.

Matemática aplicada e historia universal de la ciencia

• Thomas L. Heath, A History of Greek Mathematics, Oxford University Press, 1921.
• Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Wiley, 3ª ed. 1991.
• Victor J. Katz, Historia de las matemáticas: un enfoque global, Addison-Wesley, 2009.
• John Stillwell, Mathematics and Its History, Springer, 2002.
• Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, 1972.