29.3 Economía matemática y modelos

La economía matemática es la rama de la ciencia económica que aplica métodos cuantitativos y formales para describir, explicar y predecir fenómenos económicos. Desde sus inicios en el siglo XIX hasta la actualidad, los avances en el desarrollo de modelos matemáticos han transformado la disciplina, pasando de meras narraciones cualitativas a sofisticados sistemas de ecuaciones y simulaciones por ordenador. A continuación se ofrece una visión histórica extensiva, acompañada de ejemplos, datos, fechas y sucesos relevantes.

Orígenes en el siglo XIX: los pioneros del formalismo

El primer intento sistemático de aplicar matemáticas a la economía se remonta a Antoine Augustin Cournot (1801–1877). En 1838 publicó Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses, donde planteó modelos de oligopolio en los que dos empresas fijan cantidades de producción simultáneamente. Su función de beneficio πi(q1,q2) y la noción de “mejor respuesta” fueron la semilla de la teoría de juegos.

Veinte años más tarde, en 1874, Léon Walras (1834–1910) introdujo la idea del equilibrio general en su obra Éléments d’économie politique pure. Walras modeló un sistema de n mercados interdependientes con n ecuaciones de oferta y demanda:

Σi xi(p1,…,pn) = Σi yi(p1,…,pn) para cada mercado j = 1,…,n

donde xi y yi representan cantidades demandadas y ofertadas respectivamente en función de los precios pj. Su propósito era demostrar la existencia de un vector de precios (p1,…,pn) que equilibre simultáneamente todos los mercados.

Alfred Marshall (1842–1924), por su parte, aunque menos formal, incorporó conceptos de elasticidad precio y coste marginal en Principles of Economics (1890), influyendo en la transición hacia un análisis más cuantitativo.

Finales del siglo XIX y comienzos del XX: Edgeworth, Pareto y la función de utilidad

Francis Ysidro Edgeworth (1845–1926) introdujo la frontera de posibilidades contractuales y el diagrama de caja de Edgeworth en su tratado Mathematical Psychics (1881). Convirtiendo la utilidad en una función cardinal, Edgeworth abrió paso a la optimización individual.

Vilfredo Pareto (1848–1923) en 1906 propuso la eficiencia paretiana en Manuale di Economia Politica. Definió una asignación como eficiente si ningún individuo puede mejorar sin que otro empeore. Esta noción se convirtió en piedra angular de la economía del bienestar.

Tabla cronológica de hitos iniciales

Década de 1930: la consolidación y la revolución keynesiana

La Gran Depresión de 1929 forzó a los economistas a incorporar expectativas y desempolvar métodos formales. Paul Samuelson (1915–2009) publicó Foundations of Economic Analysis en 1947, pero trabajó durante los años 30 en formalizar la teoría del equilibrio, influido por el uso de la termodinámica en física. Introdujo el método de análisis comparativo mediante derivadas parciales y la función de bienestar social.

En 1936, John Maynard Keynes (1883–1946) revolucionó la macroeconomía con The General Theory of Employment, Interest and Money, respaldado por esquemas matemáticos que relacionaban la demanda efectiva y el desempleo. Aunque su obra usó relativamente pocas fórmulas, abrió el camino a modelos agregados de comportamiento.

Equilibrio general y la escuela de Cowles

La Fundación Cowles de Estudios Económicos (creada en 1932) dirigió la formalización de la economía en Estados Unidos. Entre sus miembros:

• Wassily Leontief (1906–1999), quien en 1936 desarrolló el análisis input-output, publicando en 1941 su primer modelo para la economía estadounidense.
• Trygve Haavelmo (1911–1999), pionero de la teoría de la probabilidad en econometría, premio Nobel 1989.
• Herbert A. Simon (1916–2001), que introdujo la noción de racionalidad limitada en 1955.

La era del formalismo y la teoría de juegos

En 1944, John von Neumann (1903–1957) y Oskar Morgenstern (1902–1977) publicaron The Theory of Games and Economic Behavior, estableciendo la teoría de juegos como herramienta central. Definieron situaciones de estrategia pura y mixta, introduciendo la matriz de pagos A con resultados:

u_i(x,y) = Σ_{j,k} x_j y_k a_{jk}

Los conceptos de equilibrio de Nash (formulado por John Nash en 1950) ampliaron aún más este campo, con aplicaciones a competencia oligopólica, subastas y mercados financieros.

Crecimiento económico y modelos macroeconómicos

Durante la posguerra surgieron modelos para entender el crecimiento a largo plazo:

• 1956: Evsey Domar y Roy F. Harrod proponen el modelo Harrod-Domar, que vincula la tasa de crecimiento g con la tasa de ahorro s y la relación capital-producto v: g = s/v.
• 1956–1957: Robert Solow publica su modelo exógeno de crecimiento, incorporando la función de producción agregada neoclásica Y = K^α (AL)^(1–α). Con ello demuestra que el progreso técnico es la fuente principal de crecimiento sostenido.

Estos modelos inauguraron la disciplina de la teoría del crecimiento económico, con extensiones posteriores en los 80 y 90 hacia modelos endógenos.

Econometría y validación empírica

La econometría, surgida entre 1920 y 1930, unió estadística y economía. Jan Tinbergen (1903–1994) y Ragnar Frisch (1895–1973) crearon en 1933 la Econometric Society. Los siguientes hitos son esenciales:

• 1939: Frisch desarrolla la metodología de variables instrumentales para resolver el sesgo de simultaneidad.
• 1950: Lawrence Klein (1920–2013) elabora modelos macroeconométricos multinivel, usados por los gobiernos para previsiones de corto plazo.
• 1971–1972: Milton Friedman y Trygve Haavelmo obtienen el Nobel por sus aportes a los métodos econométricos.

La econometría moderna, con técnicas de series temporales (ARIMA, cointegración) y microdatos (modelos logit, probit), permite ajustar y validar los modelos matemáticos con datos reales.

Modelos modernos: DSGE, agent-based y big data

En las últimas décadas, los modelos dinámico-estocásticos de equilibrio general (DSGE) se han convertido en el núcleo de la macroeconomía académica y de los bancos centrales. Incorporan choques tecnológicos, de política monetaria y de preferencias en sistemas de ecuaciones diferenciales estocásticas:

E_t[f(X_{t 1},X_t,Z_t)] = 0

donde X son variables endógenas y Z choques estocásticos. Ejemplos destacados:

• 1999: Smets y Wouters desarrollan un DSGE para la eurozona, estimado con datos de 1970 a 1997.
• 2008: en plena crisis financiera, los modelos DSGE se actualizan para incluir fricciones financieras y mercados incompletos.

Por otro lado, los modelos basados en agentes (agent-based models) simulan interacciones heterogéneas entre miles de agentes económicos. Ejemplo: EURACE, desarrollado en 2005 en Europa para estudiar la convergencia de la zona euro.

Finalmente, la disponibilidad de big data (transacciones electrónicas, redes sociales) y la inteligencia artificial han incorporado técnicas de aprendizaje automático (machine learning) para la predicción de series temporales y la detección de patrones en el comportamiento agregado.

Impacto y perspectivas futuras

Hoy la economía matemática abarca desde la teoría abstracta del equilibrio hasta aplicaciones prácticas en finanzas cuantitativas, subastas electrónicas y diseño de mecanismos de licitación de espectro radioeléctrico (por ejemplo, las subastas de 3G en los años 2000). El enfoque formal ha permitido:

• Optimizar políticas públicas mediante modelos de bienestar social computables.
• Diseñar productos financieros complejos a través de la modelización estocástica.
• Simular choques macroeconómicos y evaluar políticas monetarias en tiempo real.

Las próximas fronteras incluyen la integración de modelos ecológicos y económicos para medir la sostenibilidad, el uso de redes neuronales profundas para la predicción de crisis y la combinación de teoría de juegos y blockchain en el diseño de mercados descentralizados.

Conclusión

La historia de la economía matemática y los modelos es un trayecto desde las ecuaciones de Cournot y Walras hasta las simulaciones por computador de realidades complejas. Cada avance formal ha permitido comprender mejor los mecanismos económicos y perfeccionar las herramientas de política económica, econometría y finanzas. El futuro pasa por integrar aún más la teoría, los datos masivos y la capacidad de cómputo, manteniendo siempre el rigor matemático y la validez empírica.

Economía matemática

• Paul A. Samuelson: Foundations of Economic Analysis. Harvard University Press, 1947. https://books.google.com/?q=Foundations of Economic Analysis

• Alpha C. Chiang: Fundamentals of Mathematical Economics. McGraw-Hill, 1984. https://books.google.com/?q=Fundamentals of Mathematical Economics

• Andreu Mas-Colell: Théorie des jeux et économie mathématique. Tecnos, 1991. https://books.google.com/?q=Théorie des jeux et économie mathématique

• Kenneth J. Arrow y Frank H. Hahn: General Competitive Analysis. Holden-Day, 1971. https://books.google.com/?q=General Competitive Analysis

• Gerard Debreu: Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium. Yale University Press, 1987. https://books.google.com/?q=Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium

Modelos de historia universal de la ciencia

• Alexandre Koyré: De lo cerrado al universo infinito. Tecnos, 1957. https://books.google.com/?q=De lo cerrado al universo infinito

• Thomas S. Kuhn: La estructura de las revoluciones científicas. Fondo de Cultura Económica, 1962. https://books.google.com/?q=La estructura de las revoluciones científicas

• Derek J. de Solla Price: Ciencia pequeña, ciencia grande. Alianza Editorial, 1988. https://books.google.com/?q=Ciencia pequeña, ciencia grande

• Morris R. Cohen amp I. Bernard Cohen: La revolución científica: Una indagación historiográfica. Fondo de Cultura Económica, 1961. https://books.google.com/?q=La revolución científica: Una indagación historiográfica

• Peter J. Bowler amp Iwan Rhys Morus: Historia de la ciencia occidental. Alianza Editorial, 2011. https://books.google.com/?q=Historia de la ciencia occidental