28.2 Cálculo en Europa y desarrollos paralelos

El cálculo, entendido como la teoría de las tasas de variación y las sumas infinitesimales, constituye una de las piedras angulares de la matemática moderna. Su desarrollo en Europa durante los siglos XVII y XVIII no surgió de la nada, sino que se apoyó en siglos de trabajos de geómetras, mecánicos y astrónomos. Al mismo tiempo, en otras regiones del mundo –especialmente en la India y en China– se gestaban procedimientos y series que en muchos casos anticipaban nociones semejantes a las de la diferencial e integral. En este punto se examina primero la génesis del cálculo en Europa, desde los precursores del Renacimiento hasta la consolidación del método de las fluxiones y de las diferenciales, y luego se exploran los desarrollos paralelos en Asia.

Precursores europeos en los siglos XVI y XVII

Aunque a menudo se considera al siglo XVII como la «época del nacimiento» del cálculo, las raíces de esta disciplina se remontan a prácticas antiguas de la geometría griega y a ingeniosas aproximaciones renacentistas. En 1635, Bonaventura Cavalieri (1598-1647) introdujo el método de los indivisibles para calcular áreas y volúmenes, técnica que sirvió de modelo para posteriores formalizaciones. Su obra Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635) fue notable por dividir las figuras en «infinitos» cortes horizontales, anticipando la integral.

Por su parte, Johannes Kepler (1571-1630) empleó sumas y aproximaciones para determinar el valor de π con gran precisión: en 1615 obtuvo la aproximación 3,141592653 para el perímetro de un polígono de 96.000 lados inscrito en un círculo. Fermat (1607-1665), inspirado en métodos de Apolonio, desarrolló en 1637 técnicas de máximos y mínimos mediante la comparación de valores de una variable incrementada en un número infinitesimal, anticipando la derivada. Gilles Personne de Roberval (1602-1675) y Evangelista Torricelli (1608-1647) también aplicaron indivisibles y métodos de “extensión” para problemas de tangentes y áreas.

• 1630: Kepler publica Nova Stereometria Doliorum Vinariorum.
• 1635: Cavalieri presenta su método de los indivisibles.
• 1637: Fermat envía a Descartes su tratado sobre máximos, mínimos y tangentes.
• 1644: Torricelli investiga el centro de gravedad de sólidos mediante indivisibles.

Newton y Leibniz: dos caminos hacia el cálculo

A finales del siglo XVII aparecen de forma independiente dos versiones maduras del cálculo. Isaac Newton (1642-1727) concibió el cálculo en términos de fluxiones y fluentes, donde las cantidades variables «fluyen» con el tiempo y sus velocidades instantáneas son las derivadas. Entre 1669 y 1671 Newton desarrolló el método de fluxiones pero no lo publicó de inmediato. Solo en 1693 apareció en prensa su tratado De Quadratura Curvarum y en 1704 su obra más accesible, Opticks, contenía apéndices dedicados al cálculo.

Por su parte, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) presentó en 1684 los símbolos #x222B para la integral y d para la diferencial en su artículo Nova Methodus pro Maximis et Minimis. En 1686 publicó De calculo integrali, donde expuso un sistema coherente de reglas de derivación e integración. La notación de Leibniz, más próxima a la actual, difundió la técnica con rapidez por toda Europa.

La célebre disputa de prioridad entre Newton y Leibniz marcó gran parte del debate científico en Inglaterra y en el continente. El «Comité de los Tres» de la Royal Society, presidido por Newton, dictaminó en 1713 la supuesta primacía inglesa, pero hoy se reconoce que ambas invenciones fueron independientes.

Difusión y consolidación en el siglo XVIII

Durante el siglo XVIII, el cálculo se convirtió en la herramienta dominante para resolver problemas de mecánica, astronomía y teoría de números. Los hermanos Johann y Jakob Bernoulli, estudiantes de Leibniz, publicaron en 1690-1700 tratados que popularizaron la notación y extendieron las aplicaciones al estudio de series infinitas, curvas y problemas de transmisión de calor. En 1696, Guillaume de l’Hôpital, en su Analyse des Infiniment Petits, ofreció el primer curso sistemático de cálculo diferencial e introdujo la regla de l’Hôpital para límites indeterminados.

Leonhard Euler (1707-1783) elevó el cálculo a una nueva cumbre: en su Institutiones calculi integralis (1768) y Institutiones calculi differentialis (1755) desarrolló la teoría de funciones, series de potencias y soluciones de ecuaciones diferenciales. Euler introdujo la famosa función exp(x), las fórmulas trigonométricas complejas y la notación f(x). A partir de 1760, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) intentó fundar el cálculo exclusivamente en series de potencias, buscando un fundamento más algebraico que geométrico.

Rigor y formalización en el siglo XIX

El avance vertiginoso del cálculo previo al siglo XIX alzó algunas dudas sobre la solidez de los conceptos de límite e infinitésimo. Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) en 1821 publicó el Résumé des Leçons, donde definió formalmente límite, continuidad y derivada mediante el uso de ε y δ. Introdujo criterios rigurosos para convergencia de series y sucesiones.

Karl Weierstrass (1815-1897) rechazó el infinitesimal de Leibniz y defendió la aproximación puramente aritmética: en 1861 propuso la definición clásica de límite y demostró teoremas fundamentales sobre funciones uniformemente continuas. Bernhard Riemann (1826-1866), por su parte, en 1854 presentó la definición de integral (integral de Riemann) basada en sumas de Darboux, y aportó herramientas clave para la teoría de funciones de variable compleja y la geometría diferencial.

• 1821: Cauchy formaliza el concepto de límite en su Cours d’Analyse.
• 1854: Riemann define la integral mediante particiones finitas.
• 1861: Weierstrass establece los fundamentos de análisis real sin infinitesimales.
• 1872: Cantor y Dedekind construyen los números reales mediante cortes.

Desarrollos paralelos en India y China

De manera paralela al auge europeo, desde el siglo XIV floreció en el sur de la India la escuela de Kerala, cuyos matemáticos adelantaron series infinitas y métodos de cálculo de π y de funciones trigonométricas. Madhava de Sangamagrama (c. 1350-1425) descubrió la serie de potencias para arctan(1) que converge a π/4:

π/4 = 1 – 1/3 1/5 – 1/7 …

Su discípulo Nilakantha Somayaji (1444-1544) obtuvo expresiones para seno y coseno en forma de series y refinó la aproximación de π hasta 3,14159265358979323846. En 1530, Jyeṣṭhadeva compiló estas aportaciones en el Yuktibhāṣā, tratado que contiene demostraciones rigurosas de los resultados y anticipa conceptos de límites.

En China, Liu Hui (c. 225-295) ya en el siglo III había aproximado π mediante polígonos de 3.072 lados, obteniendo π≈3,1416. Zu Chongzhi (429-500) estableció que π se encuentra entre 3,1415926 y 3,1415927. Aunque las técnicas asiáticas no cristalizaron en un sistema de cálculo diferencial, muestran rutas independientes de razonamiento infinitesimal.

Impacto y legado

El desarrollo del cálculo en Europa y sus desarrollos paralelos en Asia marcaron un cambio de paradigma en la matemática: de la geometría estática a la teoría de la variación y la infinitud manejable. Esta revolución permitió la resolución de problemas que iban desde la mecánica celeste (Ley de la gravitación universal, 1687) hasta la termodinámica y el electromagnetismo en el siglo XIX. El rigor alcanzado en el análisis dio paso, en el siglo XX, a la topología, la teoría de la medida y el análisis funcional, pilares de la física moderna y de la teoría cuántica.

Historia del cálculo en Europa

• The History of the Calculus and Its Conceptual Development. Carl B. Boyer, 1949. Disponible en https://www.amazon.com/History-Calculus-Conceptual-Development/dp/0472029255
• The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue. William Dunham, 2005. Disponible en https://www.amazon.com/Calculus-Gallery-Masterpieces-Newton-Lebesgue/dp/0691129812
• The History of Analysis. Hans Niels Jahnke, 2003. Disponible en https://www.amazon.com/History-Analysis-Hans-Niels-Jahnke/dp/0387986546
• The Development of the Foundations of Mathematical Analysis from Euler to Weierstrass. I. Grattan‐Guinness, 1970. Disponible en https://www.amazon.com/Foundations-Mathematical-Analysis-Euler-Weierstrass/dp/0444870223

Desarrollos paralelos fuera de Europa

• Science and Civilisation in China, Vol. 4: Physics and Physical Technology. Joseph Needham, 1962. Disponible en https://www.amazon.com/Science-Civilisation-China-Vol-Physics/dp/0521299544
• Mathematics in India. Kim Plofker, 2009. Disponible en https://www.amazon.com/Mathematics-India-Kim-Plofker/dp/0691121373
• Arab Mathematics in the Middle Ages. J. L. Berggren, 2007. Disponible en https://www.amazon.com/Mathematics-Arabia-Middle-Ages/dp/0691017957

Historia universal de la ciencia

• The Birth of Modern Science: The Revolution of the 17th Century. Paolo Rossi, 2001. Disponible en https://www.amazon.com/Birth-Modern-Science-Social-Intellectual/dp/0631184909
• The Cambridge Illustrated History of Science. Colin Ronan, 1997. Disponible en https://www.amazon.com/Cambridge-Illustrated-History-Science/dp/0521382697
• The Cambridge History of Science, Vol. 3: Early Modern Science. David C. Lindberg y Ronald L. Numbers (eds.), 2003. Disponible en https://www.amazon.com/Cambridge-History-Science-Early-Modern/dp/0521489192