28.1 Aritmética y álgebra en diversas tradiciones

La aritmética y el álgebra constituyen dos de las ramas fundamentales de las matemáticas. Su evolución a lo largo de la historia se ha visto marcada por grandes aportaciones de distintas culturas: la mesopotámica, la egipcia, la griega, la india, la china, la islámica y la europea. A continuación se despliega un recorrido cronológico y comparativo que ilustra sucesos, fechas, ejemplos y datos relevantes de cada tradición.

1. Tradición mesopotámica y egipcia (c. 2000 – 1600 a.C.)

En la antigua Mesopotamia (sumerios, babilonios y asirios) y el Antiguo Egipto, la aritmética nace motivada por necesidades administrativas, censo de poblaciones y construcción de monumentos.

• Mesopotamia (c. 1900 a.C.): uso del sistema sexagesimal. La tabla de multiplicar de Plimpton 322 (c. 1800 a.C.) revela un profundo conocimiento de ternas pitagóricas y cálculo fraccional.
• Antiguo Egipto (c. 1650 a.C.): el Papiro de Rhind (escuela de Ahmes) presenta algoritmos para sumar fracciones unitarias 2/n y resolución de problemas de reparto de pan y cerveza.

Ejemplo egipcio (R1 del Papiro de Rhind): 2/3 1/5 = 1/2 1/30, mediante la descomposición en fracciones unitarias.

2. Aportaciones griegas (siglos V a I a.C.)

La aritmética y la geometría griegas avanzan hacia una presentación axiomática y deductiva. Aunque el álgebra simbólica no aparece explícita, los escritos de Diofanto inician un estilo proto-algebraico.

• Pitágoras (c. 570–495 a.C.): estudio de las propiedades de los números y proporciones musicales.
• Euclides (c. 300 a.C.): en Elementos se establecen definiciones numéricas y propiedades de números enteros y fracciones, incluyendo el algoritmo para el máximo común divisor.
• Diofanto de Alejandría (siglo III d.C.): autor de Arithmetica, obra pionera que introduce un lenguaje algebraico de incógnitas y coeficientes. Plantea y resuelve cerca de 130 ecuaciones diofánticas.

Ejemplo diofántico: resolver x y = 10, x – y = 2, da x = 6, y = 4. Su método se basa en manipular símbolos geométricos en lugar de la notación moderna.

3. Desarrollo en la India clásica (siglos V – 12)

La India juega un papel clave al introducir el sistema decimal posicional y técnicas de álgebra de forma más cercana a la notación actual.

• Āryabhaṭa (497 d.C.): primera descripción del sistema de numeración decimal y métodos de extracción de raíces cuadradas y cúbicas.
• Brahmagupta (598 – c. 668 d.C.): en Brāhmasphuṭasiddhānta se formula la resolución de ecuaciones cuadráticas ax² bx c = 0, con la famosa fórmula que hoy conocemos como bhāvanaprakarana (discriminante b² – 4ac). También discute soluciones negativas y nulas.
• Bhāskara II (1114 – 1185): en Līlāvatī y Bijaganita sistematiza métodos para ecuaciones de segundo grado, progresiones aritméticas y geométricas, reglas de combinatoria y permutaciones.

Ejemplo brahmaguptiano: para la ecuación x² 10x – 39 = 0, se calcula x = [–10 ± √(100 156)]/2 = (–10 ± √256)/2 = (–10 ± 16)/2, dando x=3 y x=–13.

4. Matemática china (siglos I – XIV)

La tradición matemática china se caracteriza por su método de reseañas numéricas y uso de tablas. El Jiuzhang Suanshu (Arte de los nueve capítulos, c. siglo I d.C.) consolida procedimientos aritméticos y algebraicos tempranos.

• Capítulo sobre fracciones y reducciones, multiplicaciones y divisiones en sistema decimal.
• Regla de la “falsa posición” (método babilónico continuo) para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas.
• Uso del ábaco (suanpan) a partir de la dinastía Song (siglo X) para agilizar cálculos de raíces y productos.

Ejemplo de falsa posición: resolver 3x 5 = 20. El método propone “a prueba” un x=1 da 3·1 5=8, se ajusta proporcionalmente: x = 1·(20–5)/(8–5) = 1·15/3 = 5.

5. Auge islámico (siglos VIII – XIV)

A través de la traducción de obras griegas e indias al árabe, el mundo islámico crea un entorno fértil para el perfeccionamiento del álgebra.

• al-Khwārizmī (c. 780 – 850): autor de Kitāb al-Jabr wa’l-Muqābala (c. 820), se considera el fundador del álgebra en tanto disciplina autónoma. Clasifica las ecuaciones de primer y segundo grado y su nombre da origen al término “álgebra”.
• Omar Khayyam (1048 – 1131): en el Tahrir al-majisti y trabajos sobre secciones cónicas, resuelve ecuaciones cúbicas mediante construcciones geométricas.
• al-Karaji (c. 953 – 1029): introduce el concepto de polinomio y operaciones de suma y producto de series, anticipando el binomio de Newton.

Ejemplo al-Khwārizmī: ecuación x² 10x = 39. Su método, sin notación simbólica, consiste en “completar el cuadrado”: añadir 25 a ambos lados, obteniendo (x 5)² = 64, luego x 5 = 8, x=3 o x 5 = –8, x=–13 (se descartan raíces negativas si se interpreta geométricamente).

6. Europa medieval y Renacimiento (siglos XII – XVII)

La traducción al latín de textos árabes y griegos a partir del siglo XII impulsa la matemática europea. La notación moderna se desarrolla gradualmente.

• Leonardo de Pisa (Fibonacci, 1170 – 1240): en Liber Abaci (1202) introduce el sistema de numeración indo-arábigo y presenta la conocida sucesión de Fibonacci, junto con numerosos problemas aritméticos de interés comercial y hundimiento.
• Nicole Oresme (c. 1323 – 1382): estudia gráficas de funciones y la raíz de un número negativo en la resolución de ecuaciones.
• Girolamo Cardano (1501 – 1576): publica Ars Magna (1545), con la solución de ecuaciones cúbicas y cuarticas a través de la fórmula de Cardano–Tartaglia.
• François Viète (1540 – 1603): introduce la notación moderna de incógnitas (letras) y coeficientes, estableciendo las relaciones entre raíces y coeficientes para ecuaciones polinómicas.
• René Descartes (1596 – 1650): en La Géométrie (1637) consolida el álgebra simbólica y la geometría analítica, unificando ecuaciones y curvas mediante coordenadas.

Ejemplo de Cardano (Ecuación cúbica): x³ px q = 0, la fórmula general es x = ∛(–q/2 √(q²/4 p³/27)) ∛(–q/2 – √(q²/4 p³/27)).

7. Consolidación y expansión (siglo XVIII – XX)

El avance de la aritmética y el álgebra se acentúa con nuevos métodos, la sistematización de la teoría de números y la aparición del álgebra abstracta.

• Leonhard Euler (1707 – 1783): desarrolla las bases de la teoría de números, funciones aritméticas y la notación moderna de conjuntos de números (ℕ, ℤ, ℚ).
• Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855): publica Disquisitiones Arithmeticae (1801), marcando un hito en teoría de números, congruencias y la propiedad fundamental de la aritmética.
• Évariste Galois (1811 – 1832): funda la teoría de grupos y explica la resolubilidad de ecuaciones polinómicas por radicales.
• George Boole (1815 – 1864): propone el álgebra booleana, esencial para la lógica y la informática.

Ejemplo gaussiano: prueba del teorema fundamental de la aritmética (descomposición única de un entero en primos) y estudio de congruencias: a ≡ b (mod n) si n divide a (a–b).

8. Tabla cronológica resumida

9. Conclusiones

El desarrollo de la aritmética y el álgebra ha sido un proceso continuo de transferencia y enriquecimiento cultural. Cada civilización aportó métodos adaptados a sus necesidades práticas—desde la gestión de cosechas y comercio hasta la abstracción lógica más profunda. La consolidación de la notación moderna, iniciada en la Europa del Renacimiento, permitió la expansión hacia el álgebra abstracta y las aplicaciones en física, ingeniería e informática. Hoy día, las raíces históricas de estas disciplinas siguen vivas en los métodos de enseñanza y en la forma de concebir el cálculo y la resolución de ecuaciones.

Libros recomendados sobre la temática 28.1: Aritmética y álgebra en diversas tradiciones

Tradición mesopotámica y egipcia

• The Exact Sciences in Antiquity, Otto Neugebauer (Springer, 1957). Estudio fundamental de la aritmética babilónica y egipcia.

Tradición griega

• Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra, Sir Thomas Heath (Cambridge University Press, 1910). Análisis de los métodos aritmético-algebraicos de Diofanto.
• A History of Mathematics, Carl B. Boyer y Uta C. Merzbach (John Wiley Sons, 1989). Incluye capítulos dedicados a la geometría y al álgebra griega.

Tradición india

• Mathematics in India, Kim Plofker (Princeton University Press, 2009). Cobertura de la aritmética y del álgebra desde los Vedas hasta los Bhāskarācārya.

Tradición china

• Science and Civilisation in China. Vol. 3: Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth, Joseph Needham (Cambridge University Press, 1959). Estudio detallado de métodos aritméticos y de resolución de ecuaciones.

Tradición islámica

• A History of Arabic Algebra: From al-Khwārizmī to Nasir al-Dīn al-Tūsī, Roshdi Rashed (Varias editoriales, 1994). Evolución del álgebra en el mundo islámico.
• The Algebra of Mohammed ben Musa, traducido por Frederic Rosen (University of Wisconsin Press, 1831). Primer texto sistemático de álgebra.

Tradiciones no occidentales y comparativas

• The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, George Gheverghese Joseph (Princeton University Press, 1991). Aporta ejemplos de África, Asia y Mesoamérica.
• Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics, editado por Helaine Selin (Kluwer Academic Publishers, 2000). Antología de estudios sobre aritmética y álgebra en culturas diversas.

Tradición japonesa

• Japanese Temple Geometry: San Gaku, Hidetoshi Fukagawa y Tony Rothman (Princeton University Press, 2008). Problemas aritmético-algebraicos de la escuela sangaku.

Tradición africana

• African Mathematics: From Bones and Totems to Vectors and Tensors, Paulus Gerdes (Center for Studies in Ethnomathematics, 1999). Exploración de sistemas numéricos y razonamientos algebraicos en África.